في الرياضيات، تستعمل قاعدة الرفع إلى أس أو قاعدة القوة(بالإنجليزية: power rule) للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.
تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)'=\sum _{k=0}^{n}ka_{k}x^{k-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc8358a7b97d51ba5188d2be25e56d68227d457)
و
.
لذلك, تكون مشتقة
هي
والتكامل غير المحدود للقيمة
هو
حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.
قاعدة القوة[عدل]
تذكر قاعدة القوة للتفاضل بأنه إذا كان n هو عدد طبيعي, تكون مشتقة
هي
, وبالتالي تكون القاعدة هي
![{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b996afedc4666db5a78c7925b4b369989bdf0a7f)
و قاعدة القوة للتكامل هي
![{\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24a05e34ca61fb64354a024f27576370ec0b80e)
عندما يكون n عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.
البرهان[عدل]
لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcaddeec2b70062ead158b00f2553a117192357)
و عند تعويض
ستكون المعادلة على النحو التالي
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90f2cd0cee66ffb95d2191e08d8cfb6cccd04a3)
ثم يمكن للمرء التعبير عن
باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31abcab4517610c87e9b7477d7c927d52cf1bfba)
يمكن كتابة الحد
من المجموع في جهة مستقلة للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2e014df7edb220d6e499f915aaefe06bd62ffc7)
و بسبب إلغاء قيم الحدود
ستكون المعادلة
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e26f1a093fe946c488f5f07574f78d0baf3657)
و يمكن إخراج قيمة
من جميع الحدود من المجموع للحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda28c4ef299a4b0a88fa7904642ef117fb7d9df)
و بذلك يمكننا إلغاء قيم
من المقام والحصول على
![{\displaystyle f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}\sum _{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec9652a28bf6bee6864aeb13f614b3c5fb3c7706)
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن
لكل
وتساوي صفر لكل
لذلك نجد قيمة
فقط عندما يكون
, وبالتالي تكون المعادلة
![{\displaystyle f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a07142499d6e6f049afc11e6f88c81dad05404b3)
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة
![{\displaystyle {n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba78c0ad11cc7a47e0dc200f79bc067a2d0dc5c0)
و بالتالي هذه المعادلة
![{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f8fba110ff2d183c21948b8351ed9da47db9c6)
تفاضل متعددات الحدود الكيفية[عدل]
لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:
![{\displaystyle \left(\sum _{r=0}^{n}a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}\left(a_{r}x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}a_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum _{r=0}^{n}ra_{r}x^{r-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b31be98170e0e9d5988761bfe4203bda5f65e07)
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي
![{\displaystyle \int \!\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884f8f403f0a87881a05ed8ef59e0ce3af3e946b)
تعميم[عدل]
يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي
![{\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bb4555813b34ad6280084bb3126eb0a1da22cb0)
عندما تكون قيمة a أي عدد حقيقي ما دام أن قيم x من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع
![{\displaystyle \int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dfe4e7e85d217d4d0f604285f2de0e0e39bcc2)
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة x, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.
المراجع[عدل]
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.