مستخدم:Rakan Saleh Alwabili/قاعدة كرامر

في الجبر الخطي ، تعتبر قاعدة كرامر صيغة صريحة لحل نظام المعادلات الخطية مع العديد من المعادلات المجهولة ، عندما يكون النظام حلاً فريداً.ويعبر عن الحل من حيث محددات مصفوفة معامل (المربّع) والمصفوفات التي تم الحصول عليها منه عن طريق استبدال عمود واحد بواسطة ناقل الأعمدة للجانب الأيمن من المعادلات. سميت بعد غابرييل كريمر (1704-1752) ، الذي نشر قاعدة لعدد غير معروف من المجهولين في عام 1750 ، على الرغم من أن كولن ماكلورين نشر أيضا حالات خاصة من الحكم في عام 1748 (وربما يعرف عنها في وقت مبكر 1729).

قاعدة كرامرغير فعالة من الناحية الحسابية لأنظمة أكثر من معادلتين أو ثلاثة. في حالة المعادلات n في ن المجهريات ، يتطلب ذلك حساب محددات n + 1 ، عندما يلغي القضاء الغوسي النتيجة مع نفسه التعقيد الحسابي كحساب محدد واحد.قاعدة كرامرهي أيضًا غير مستقرة عدديًا حتى بالنسبة لأنظمة 2 × 2.

الحالة العامة

النظر في نظام المعادلات الخطية n للمجهولات n ، ممثلة في نموذج الضرب المصفوف كما يلي:

$Ax=b$

حيث يحتوي مصفوفة n × n A على محدد غير صفري ، والمتجه $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }$ هو متجه العمود للمتغيرات. ثم تنص النظرية أنه في هذه الحالة ، فإن النظام لديه حل فريد ، التي يتم تحديد قيمها الفردية للمجهول من خلال:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n$

أين$A_{i}$

وهناك نسخة أكثر عمومية لقاعدة كرامر تنظر في معادلة المصفوفة

$AX=B$

$1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ و$1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq m$, سمح$X_{I,J}$ يكون k x k من X مع الصفوف في $I:=(i_{1},\ldots ,i_{k})$ و الأعمدة في $J:=(j_{1},\ldots ,j_{k})$. سمح $A_{B}(I,J)$ تكون مصفوفة n x n الناتجة عن استبدال $i_{s}$ عمود من A بواسطة $j_{s}$ عمود من B, للجميع $s=1,\ldots ,k$. ثم

$\det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.$

في الحالة k = 1 ، يؤدي ذلك إلى تقليل قاعدة كرامرالعادية.

تحتفظ القاعدة بأنظمة المعادلات ذات المعاملات والمجهولات في أي مجال ، ليس فقط في الأرقام الحقيقية.تبين في الآونة الأخيرة أنه يمكن تنفيذ قاعدة كرامرفي زمن (O(n3 وهو مماثل للطرق الأكثر شيوعا لحل أنظمة المعادلات الخطية ،مثل القضاء الغاوسي (يتطلب باستمرار 2.5 أضعاف العمليات الحسابية لجميع أحجام المصفوفة ، مع عرض استقرار رقمي قابل للمقارنة في معظم الحالات).

دليل

يستخدم دليل قاعدة كرامرخاصيتين فقط من المحددات:الخطية فيما يتعلق بأي عمود معين (مع الأخذ في الاعتبار لهذا العمود ، فإن مجموعة خطية من نواقل العمود تنتج المحددات الخطية المطابقة لمحدداتها)،وحقيقة أن المحدد هو صفر عندما يكون هناك عمودين متساويين (وهو ما ينطوي عليه الخاصية الأساسية التي تقلبها علامة المحدد إذا قمت بتبديل عمودين).

أصلح الفهرس j لعمود. الخطية تعني أننا إذا اعتبرنا العمود j كمتغير (إصلاح الآخرين بشكل تعسفي) ، الوظيفة الناتجة Rⁿ → R (بافتراض وجود إدخالات مصفوفة في R) يمكن أن تعطى عن طريق مصفوفة ، مع صف واحد وأعمدة n ، يعمل على العمود j. في الواقع هذا هو بالضبط ما يفعله توسع لابلاس ، مكتوبةdet(A) = C₁a_1,j + ... + C_na_n,j لمعاملات معينة C₁, ..., C_n التي تعتمد على أعمدة A بخلاف العمود j (التعبير الدقيق لهذه العوامل المساعدة ليس مهمًا هنا).القيمة det(A) هو نتيجة تطبيق المصفوفة المكونة من سطر واحد L_(j) = (C₁ C₂ ... C_n) إلى العمود j A. اذا L_(j) يتم تطبيقه على أي عمود آخر k من A, ثم تكون النتيجة هي محدد المصفوفة التي تم الحصول عليها من A باستبدال العمود j بواسطة نسخة من العمود k ، لذلك فإن المحدد الناتج هو 0 (حالة عمودين متساويين).

الآن النظر في نظام المعادلات الخطية n في n مجهول $x_{1},\ldots ,x_{n}$, مع مصفوفة معاملها A, مع (det(A يفترض أن تكون غير صفرية::

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}$

إذا كان أحد يجمع بين هذه المعادلات عن طريق أخذها C₁ معادلة المعادلة الأولى ، زائد C₂ مرة ثانية ، وهكذا دواليك C_n مرات الماضي ، ثم معامل x_j سيصبح C₁a_{1, j} + ... + C_na_n,j = det(A), بينما تصبح معاملات جميع المجهولات الأخرى 0 ؛; يصبح الجانب الأيسر ببساطة det(A)x_j. الجانب الأيمن هو C₁b₁ + ... + C_nb_n, الذي L_(j) تطبق على العمود المتجه b من الجانب الأيمن b_i. في الواقع ما تم القيام به هنا هو مضاعفة معادلة المصفوفة Ax = b على اليسار من L_(j). القسمة على الرقم غير الصفر (det(A يجد المرء المعادلة التالية ، ضروري لإرضاء النظام:

$x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.$

ولكن عن طريق البناء البسط هو المحدد للمصفوفة التي تم الحصول عليها من A عن طريق استبدال العمود j b, حتى نحصل على تعبير حكم كرامر كشرط ضروري للحل. يمكن تكرار نفس الإجراء بالنسبة لقيم j الأخرى للبحث عن قيم للمجهول الآخر.

النقطة الوحيدة التي تبقى لإثبات أن هذه القيم للمجهول ، هي الوحيدة الممكنة ، هم الوحيدون الممكنون ، بل يشكلون معًا حلاً. ولكن إذا كانت المصفوفة A قابل للانعكاس مع العكس A⁻¹, ثم x = A⁻¹b سيكون حلا ، مما يدل على وجودها. لترى ذلك A قابل للانعكاس عندما (det(A غير الصفر ، والنظر في n × n مصفوفة M التي تم الحصول عليها عن طريق تكديس المصفوفات من سطر واحد L_(j) فوق بعضها البعض j = 1, ..., n (وهذا يعطي مصفوفة لـ A). وقد تبين ذلك L_(j)A = (0 ... 0 det(A) 0 ... 0) اين det(A) يظهر في الموقف j ؛ من هذا يتبع ذلكMA = det(A)I_n. وبالتالي،

${\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1},$

استكمال الإثبات.

للحصول على أدلة أخرى ، انظر أدناه.

العثور على مصفوفة معكوس

دعA يكون n × n مصفوفة. اذا

$A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I$

اين (adj(A يدل على مصفوفة adj من A, det(A) هو المحدد ، وI أن مصفوفة الهوية. اذا (det(A قابل للانعكاس في R ، ثم المصفوفة العكسية لـ A 

$A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).$

إذا كان R عبارة عن حقل (مثل حقل الأرقام الحقيقية) ، ثم هذا يعطي صيغة معكوس A, قدمت det(A) ≠ 0. في الحقيقة ، هذه الصيغة ستعمل متى R هي حلقة تبادلية ، بشرط det(A) هي وحدة. إذا  (det(A ليست وحدة ، ثم A غير قابل للانعكاس..

تطبيقات

صيغ صريحة للأنظمة الصغيرة

النظر في النظام الخطي

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y&={\color {red}c_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y&={\color {red}c_{2}}\end{matrix}}\right.$

الذي في شكل مصفوفة هو

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}c_{1}}\\{\color {red}c_{2}}\end{bmatrix}}.$

افترض a₁b₂ − b₁a₂ غير صفرية. ثم ، بمساعدة من المحددات ، x و y يمكن العثور عليها مع قاعدة كرامر

${\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}{c_{1}}}&b_{1}\\{\color {red}{c_{2}}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}{c_{1}}}\\a_{2}&{\color {red}{c_{2}}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2} \over a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}\end{aligned}}.$

قواعد المصفوفات 3 × 3 متشابهة. معطى

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}}\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}}\end{matrix}}\right.$

الذي في شكل مصفوفة هو

${\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}d_{1}}\\{\color {red}d_{2}}\\{\color {red}d_{3}}\end{bmatrix}}.$

ثم يمكن العثور على قيم x و y و z على النحو التالي:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},{\text{ and }}z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.$

الهندسة التفاضلية

ريكسي حساب التفاضل والتكامل

يتم استخدام قاعدة كرامر في حساب ريكسي في مختلف الحسابات التي تنطوي على رموز كريستوفل من النوع الأول والثاني.

على وجه الخصوص ، يمكن استخدام قاعدة كرامرلإثبات أن عامل الاختلاف في مشعب ريمانيان غير ثابت فيما يتعلق بتغيير الإحداثيات. نعطي دليلا مباشرا ، وقمع دور رموز كريستوفل . دع $(M,g)$ يكون مشعب ريمانيان مجهزة الإحداثيات المحلية $(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})$. دع $A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ يكون مجال ناقلات. نحن نستخدم اتفاقية الجمع في كل مكان.

Theorem.

The divergence of $A$,

$\operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),$

غير ثابتة تحت تغير الإحداثيات.

تفسير هندسي

قاعدة كرامرلها تفسير هندسي يمكن اعتباره دليلاً أو مجرد إعطاء فكرة عن طبيعتها الهندسية. هذه الحجج الهندسية تعمل بشكل عام وليس فقط في حالة معادلتين مع مجهولين معروضين هنا.

نظرا لنظام المعادلات

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}$

يمكن اعتباره معادلة بين المتجهات

$x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}={\binom {b_{1}}{b_{2}}}.$

منطقة متوازي الاضلاع التي يحددها ${\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ و${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ يتم تحديده بواسطة محدد نظام المعادلات:

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.$

بشكل عام ، عندما يكون هناك المزيد من المتغيرات والمعادلات ، فإن محددات n للمتجهات ذات الطول n ستعطي حجم المتوازي المعياري الذي تحدده تلك النواقل في الفضاء الإقليدي n الابعاد.

لذلك ، تحدد منطقة متوازي الأضلاع بواسطة $x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}$ و${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ يجب أن يكون $x_{1}$ مرات مساحة أول ${\binom {b_{1}}{b_{2}}}=x_{1}{\binom {a_{11}}{a_{21}}}+x_{2}{\binom {a_{12}}{a_{22}}}$ و${\binom {a_{12}}{a_{22}}}$.

معادلة مناطق هذا التوازي الأخير والثاني يعطي المعادلة

${\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$

التي تتبعها قاعدة كرامر.

البراهين الأخرى

دليل على الجبر الخطي المجرد

هذا هو إعادة بيان للأدلة أعلاه بلغة مجردة.

النظر في الخريطة ${\vec {x}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto {\frac {1}{\det A}}(\det(A_{1}),\ldots ,\det(A_{n}))$, اين $A_{i}$ هي المصفوفة $A$ مع ${\vec {x}}$ حكم كرامر. بسبب خطية المحدد في كل عمود ، هذه الخريطة خطية. لاحظ أنه يرسل عمود من $A$ إلى ناقلات الأساس ${\vec {e}}_{i}=(0,\ldots ,1,\ldots ,0)$ (مع 1 في المكان) ، لأن المحدد لمصفوفة مع عمود متكرر هو 0. لذلك لدينا خريطة خطية تتفق مع معكوس $A$ في مساحة العمود ومن ثم يتفق مع $A^{-1}$ على امتداد مساحة العمود. منذ $A$ قابل للانعكاس ، تمتد نواقل الأعمدة كلها $\mathbb {R} ^{n}$, حتى خريطتنا هي حقا معكوس $A$يتبع قاعدة كرامر..

دليل قصير

يمكن إعطاء دليل قصير لقاعدة كرامر من خلال ملاحظة ذلك $x_{1}$ هو المحدد للمصفوفة

$X_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}&0&0&\dots &0\\x_{2}&1&0&\dots &0\\x_{3}&0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}&0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

من ناحية أخرى ، بافتراض أن المصفوفة الأصلية A قابلة للانعكاس ، هذه المصفوفة $X_{1}$ يحتوي على أعمدة $A^{-1}b,A^{-1}v_{2},\ldots ,A^{-1}v_{n}$, اين $v_{n}$ هو العمود ال -19 من المصفوفة أذكر أن المصفوفة $A_{1}$ يحتوي على أعمدة $b,v_{2},\ldots ,v_{n}$. ومن ثم لدينا

$x_{1}=\det(X_{1})=\det(A^{-1})\det(A_{1})={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}.$

والدليل الآخر $x_{j}$ إنه متشابه.

دليل استخدام كليفورد الجبر

خذ بعين الاعتبار نظام المعادلات القياسية الثلاث في ثلاثة أقواس مجهولة $x_{1},x_{2},x_{3}$

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}&=c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}&=c_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}&=c_{3}\end{aligned}}$

وتعيين أساس متجه المتعامدة المعيرة$\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ للأجل${\mathcal {G}}_{3}$ مثل

${\begin{aligned}a_{11}\mathbf {e} _{1}x_{1}+a_{12}\mathbf {e} _{1}x_{2}+a_{13}\mathbf {e} _{1}x_{3}&=c_{1}\mathbf {e} _{1}\\a_{21}\mathbf {e} _{2}x_{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}x_{2}+a_{23}\mathbf {e} _{2}x_{3}&=c_{2}\mathbf {e} _{2}\\a_{31}\mathbf {e} _{3}x_{1}+a_{32}\mathbf {e} _{3}x_{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}x_{3}&=c_{3}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

دع المتجهات

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{1}&=a_{11}\mathbf {e} _{1}+a_{21}\mathbf {e} _{2}+a_{31}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{2}&=a_{12}\mathbf {e} _{1}+a_{22}\mathbf {e} _{2}+a_{32}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {a} _{3}&=a_{13}\mathbf {e} _{1}+a_{23}\mathbf {e} _{2}+a_{33}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}$

إضافة نظام المعادلات ، وينظر إلى أن

${\begin{aligned}\mathbf {c} &=c_{1}\mathbf {e} _{1}+c_{2}\mathbf {e} _{2}+c_{3}\mathbf {e} _{3}\\&=x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+x_{3}\mathbf {a} _{3}\end{aligned}}$

استخدام المنتج الخارجي ، كل مجسم غير معروف $x_{k}$ لا يمكن حلها كما

${\begin{aligned}\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{1}\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}&=x_{2}\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}\\\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}&=x_{3}\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\\x_{1}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{2}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{3}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\\x_{3}&={\frac {\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{3}\wedge \mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}}}={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {c} }{\mathbf {a} _{1}\wedge \mathbf {a} _{2}\wedge \mathbf {a} _{3}}}\end{aligned}}$

لمعادلات ن في ن مجهولات ، فإن الحل  k-th غير معروف$x_{k}$ تعميم الى

${\begin{aligned}x_{k}&={\frac {\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}{\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n}}}\\&=(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})^{-1}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\end{aligned}}$

اذا a_k هي مستقلة خطيًا ، ثم $x_{k}$ يمكن التعبير عنها في نموذج محدد مطابق لقاعدة كرامر

${\begin{aligned}x_{k}&={\frac {(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge (\mathbf {c} )_{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}{(\mathbf {a} _{n}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{1})\cdot (\mathbf {a} _{1}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{k}\wedge \cdots \wedge \mathbf {a} _{n})}}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot (\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{k}\cdot \mathbf {a} _{n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{k}\\\vdots \\\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &(\mathbf {c} )_{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{k}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{vmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &c_{1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &c_{k}&\cdots &a_{kn}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &c_{n}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1k}&\cdots &a_{1n}\\\vdots \end{vmatrix}}^{-1}\end{aligned}}$

اين c_k يدل على استبدال ناقلات الأمراض a_k مع ناقلات c في موقف البسط k-th.

حالات غير متوافقة وغير محددة

ويقال إن نظام المعادلات غير متوافق أو غير متناسق عندما لا توجد حلول ويسمى غير محدد عندما يكون هناك أكثر من حل واحد. بالنسبة إلى المعادلات الخطية ، سيكون لدى نظام غير محدد عددًا لا نهائيًا من الحلول (إذا كان فوق حقل لا نهائي) ، حيث يمكن التعبير عن الحلول من حيث واحد أو أكثر من المعلمات التي يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية.

تنطبق قاعدة كرامرعلى الحالة التي يكون فيها المحدد المحدد للمعامل غير صفري. في الحالة 2 × 2 ، إذا كان المحدد المحدد هو صفر ، فإن النظام غير متوافق إذا كانت محددات البسط غير صفرية ، أو غير محددة إذا كانت محددات البسط صفرًا.

بالنسبة للأنظمة 3 × 3 أو أعلى ، فإن الشيء الوحيد الذي يمكن للمرء أن يقوله عندما يكون المعامل المحدد يساوي الصفر هو أنه إذا كان أي من محددات البسط غير صفرية ، فيجب أن يكون النظام غير متوافق. ومع ذلك ، فإن وجود جميع المحددات صفر لا يعني أن النظام غير محدد. مثال بسيط حيث تختفي جميع المحددات (صفر متساوية) ولكن النظام لا يزال غير متوافق هو نظام 3 × 3 x+y+z=1, x+y+z=2, x+y+z=3.

المراجع

[[:تصنيف:العلم في 1750]] [[:تصنيف:محددات]] [[:تصنيف:جبر خطي]] [[:تصنيف:مبرهنات في الجبر]]